Exercice 17

1. Dans le parallélogramme, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, donc par Chasles $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\boxed{\vec{u}+\vec{v}}$. De même, $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec{u}+\vec{v}=\boxed{\vec{v}-\vec{u}}$.

2. On développe les deux carrés, comme à l'exercice 14 : $$\begin{aligned} \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}+\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2} &= \left(\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}\right) + \left(\|\vec{u}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}\right) \\ &= \boxed{2\left(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}\right)} \end{aligned}$$ Les doubles produits, de signes contraires, se sont éliminés.

3. On remarque que $\|\vec{v}-\vec{u}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\|$, puisque deux vecteurs opposés ont la même norme. En traduisant l'égalité précédente avec $AC$, $BD$, $AB$ et $AD$ : $$\boxed{AC^{2}+BD^{2}=2\left(AB^{2}+AD^{2}\right)}$$

4. Avec les données de l'exercice 16 : $AB=5$, $AD=3$, $AC=7$ et $BD=\sqrt{19}$. $$AC^{2}+BD^{2}=49+19=68 \qquad \text{et} \qquad 2\left(AB^{2}+AD^{2}\right)=2(25+9)=68$$ L'égalité est bien vérifiée.