Exercice 18

1. C'est la question a) de l'exercice 14 : $$(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}=\boxed{\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}}$$

2. Si $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|$, alors $\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=0$, donc $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=0$ : $$\boxed{\vec{u}+\vec{v} \text{ et } \vec{u}-\vec{v} \text{ sont orthogonaux}}$$

3. Dans le losange $ABCD$, tous les côtés ont la même longueur, donc $\|\vec{u}\|=AB=AD=\|\vec{v}\|$. D'après la question 1 de l'exercice 17, $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$ et $\overrightarrow{BD}=\vec{v}-\vec{u}$, qui est l'opposé de $\vec{u}-\vec{v}$. La question 2 donne alors : $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=0$$

4. On développe les deux normes puis on soustrait : $$\begin{aligned} \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2} &= \left(\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}\right) - \left(\|\vec{u}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}\right) \\ &= 4\,\vec{u}\cdot\vec{v} \end{aligned}$$ En divisant par $4$ : $$\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{4}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} -\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}\right)}$$ Cette fois ce sont les carrés qui s'éliminent, et les doubles produits qui s'ajoutent : c'est exactement l'inverse de ce qui s'était produit à l'exercice 17.