ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Équations de cercles

Exercice 25

DémonstrationCalcul

1. Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$ dans chacun des cas suivants :

(a) centre $\Omega(2\,;-3)$ et rayon $5$  ;

(b) centre $O(0\,;0)$ et rayon $\sqrt{7}$  ;

(c) centre $\Omega(-1\,;0)$ et rayon $3$ .

2. Donner le centre et le rayon des cercles d'équations :

(a) $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=16$

(b) $(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=3$

(c) $x^{2}+(y-1)^{2}=1$

3. Le point $A(5\,;1)$ appartient-il au cercle d'équation $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25$  ? Justifier par un calcul.

Corrigé

1. On applique la proposition 2 : le cercle de centre $\Omega(a\,;b)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$ .

(a) $\boxed{(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25}$

(b) $\boxed{x^{2}+y^{2}=7}$

(c) $\boxed{(x+1)^{2}+y^{2}=9}$

On prendra garde aux signes : le centre ayant pour ordonnée $-3$ en a), l'équation contient $(y-(-3))^{2}=(y+3)^{2}$ .

2. (a) Centre $\boxed{(4\,;-1)}$ et rayon $\boxed{R=4}$

(b) Centre $\boxed{(-2\,;5)}$ et rayon $\boxed{R=\sqrt{3}\approx 1{,}73}$

(c) Centre $\boxed{(0\,;1)}$ et rayon $\boxed{R=1}$

Le second membre est le rayon au carré : il ne faut pas confondre $R^{2}=3$ et $R=3$ .

3. On remplace $x$ par $5$ et $y$ par $1$ dans le membre de gauche : $(5-2)^{2}+(1+3)^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$ Le résultat est bien égal à $25$ : $\boxed{A \text{ appartient au cercle}}$

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 16 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Normes et topologie associée

Thèmes

équations de cercles

Notions

norme