Exercice 23

1. Voici la figure, complétée de l'orthocentre trouvé à la question 4.

2. Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\dfrac{2+4}{2}\right) =(3\,;3)$, et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ est normal à la médiatrice. En simplifiant en $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, l'équation est de la forme $2x+y+c=0$ : $$2\times 3+3+c=0 \iff c=-9 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{2x+y-9=0}$$

3. La hauteur issue de $C$ est perpendiculaire à $(AB)$ et passe par $C(0\,;6)$. Elle admet donc $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ pour vecteur normal : $$0+6+c=0 \iff c=-6 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{2x+y-6=0}$$ La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$, et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$. Avec $A(1\,;2)$ : $$-5\times 1+2\times 2+c=0 \iff c=1 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{-5x+2y+1=0}$$

4. On résout le système formé par les deux hauteurs : $$\left\{\begin{array}{rcl} 2x+y &=& 6 \\ -5x+2y &=& -1 \end{array}\right.$$ La première ligne donne $y=6-2x$ ; en substituant dans la seconde : $$-5x+2(6-2x)=-1 \iff -9x+12=-1 \iff x=\frac{13}{9}$$ puis $y=6-\dfrac{26}{9}=\dfrac{28}{9}$ : $$\boxed{H\left(\frac{13}{9}\,;\frac{28}{9}\right)\approx(1{,}44\,;3{,}11)}$$

5. La hauteur issue de $B$ est perpendiculaire à $(AC)$, avec $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $B(5\,;4)$ : $$-5+16+c=0 \iff c=-11 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{-x+4y-11=0}$$ On vérifie que $H$ lui appartient : $$-\frac{13}{9}+4\times\frac{28}{9}-11=\frac{-13+112-99}{9}=\frac{0}{9}=0$$

6. Le point $H$ est placé sur la figure de la question 1. On remarque qu'il est ici intérieur au triangle, ce qui est le cas lorsque le triangle a tous ses angles aigus.