Exercice 22

1. Un vecteur directeur de $d$ devient un vecteur normal de la perpendiculaire. Ici $\vec{n}_{d}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, donc $\vec{u}_{d}\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$, que l'on simplifie en $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$. L'équation cherchée est de la forme $3x+2y+c=0$, avec $A(4\,;1)$ : $$12+2+c=0 \iff c=-14 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{3x+2y-14=0}$$

2. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux le sont. Ici $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{n}'\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ : $$\vec{n}\cdot\vec{n}'=1\times 2+2\times(-1)=0$$

3. On résout $\vec{n}\cdot\vec{n}'=0$ avec $\vec{n}\begin{pmatrix} m \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{n}'\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ : $$2m-3=0 \iff \boxed{m=\frac{3}{2}}$$

4. Les vecteurs normaux sont $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{n}'\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$. Le produit scalaire vaut $18+2=20\neq 0$ : elles ne sont pas perpendiculaires. En revanche $\vec{n}'=2\,\vec{n}$ : les deux vecteurs normaux sont colinéaires. $$\boxed{d \text{ et } d' \text{ sont parallèles}}$$ Elles sont même strictement parallèles : en multipliant l'équation de $d$ par $2$ on obtient $6x-2y+4=0$, qui diffère de celle de $d'$.