Exercice 21

La méthode est toujours la même : le vecteur normal donne les coefficients $a$ et $b$, puis on détermine $c$ en injectant les coordonnées du point.

1. L'équation est de la forme $2x+5y+c=0$. Comme $A(-1\,;3)$ appartient à $d$ : $$2\times(-1)+5\times 3+c=0 \iff -2+15+c=0 \iff c=-13$$

2. L'équation est de la forme $-x+4y+c=0$, et l'origine $O(0\,;0)$ appartient à $d$ : $$0+0+c=0 \iff c=0 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{d : -x+4y=0}$$

3. L'équation est de la forme $3x+0\times y+c=0$, avec $C(2\,;-5)$ : $$3\times 2+c=0 \iff c=-6 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{d : 3x-6=0, \text{ c'est-à-dire } x=2}$$

4. Si $d$ est perpendiculaire à $(BC)$, alors $\overrightarrow{BC}$ est un vecteur normal à $d$. Or $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, que l'on simplifie en $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. L'équation est donc de la forme $2x+y+c=0$, et $A(1\,;2)$ y appartient : $$2+2+c=0 \iff c=-4 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{d : 2x+y-4=0}$$