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ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Définition géométrique

Exercice 7

Démonstration

À chacune des cinq figures ci-dessous, faire correspondre le calcul de AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} adapté, choisi dans la liste suivante. On justifiera chaque association.

a) AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC

b) AB→⋅AC→=AB2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^{2}

c) AB→⋅AC→=−AB2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB^{2}

d) AB→⋅AC→=12AB2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}AB^{2}

e) AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0

Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Corrigé
FigureCalculJustification
1◯\textcircled{1}

a)

AA, BB et CC sont alignés dans cet ordre : AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires de même sens, donc AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC.
2◯\textcircled{2}

e)

AA appartient au cercle de diamètre [BC][BC], donc le triangle ABCABC est rectangle en AA : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
3◯\textcircled{3}

b)

Le triangle est rectangle en BB, donc le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) est BB lui-même : AB→⋅AC→=AB→⋅AB→=AB2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=AB^{2}.
4◯\textcircled{4}

d)

Le triangle est isocèle en CC et HH est le pied de la hauteur, donc HH est le milieu de [AB][AB] : AB→⋅AC→=AB→⋅AH→=AB×AB2=12AB2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=AB\times\dfrac{AB}{2}=\dfrac{1}{2}AB^{2}.
5◯\textcircled{5}

c)

Le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) est OO, et les codages donnent OA=ABOA=AB. Mais AO→\overrightarrow{AO} et AB→\overrightarrow{AB} sont de sens contraires : AB→⋅AC→=−AB×AO=−AB2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AO=-AB^{2}.

Ces cinq figures balaient tous les cas de la proposition 1 et de la proposition 2 : deux cas de colinéarité, l'orthogonalité, et deux projetés orthogonaux de sens opposés.

Énoncé PDF, p. 3Corrigé PDF, p. 4Toute la feuilleLe cours

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