Exercice 8

1. (a) Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $B$, et $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AB}$ ont évidemment le même sens : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=AB^{2}=\boxed{36}$$

(b) Les côtés $[AB]$ et $[AD]$ sont perpendiculaires : $\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0}$

(c) Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AD)$ est $D$ : $$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AD}=AD^{2}=\boxed{16}$$

(d) $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ (le quadrilatère est un rectangle) : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\boxed{36}$$

2. Dans le repère proposé, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$. La proposition 5 donne alors : $$6\times 6+0\times 4=36 \quad ; \quad 6\times 0+0\times 4=0 \quad ; \quad 0\times 6+4\times 4=16 \quad ; \quad 6\times 6+0\times 0=36$$ On retrouve bien les quatre résultats précédents.

3. $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix}$ : $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=6\times(-6)+4\times 4=-36+16=\boxed{-20}$$ Ce produit n'étant pas nul : $\boxed{\text{les diagonales d'un rectangle ne sont pas perpendiculaires}}$.

Dans un carré en revanche, $AB=AD$, et le calcul devient $AB^{2}-AD^{2}=0$ : les diagonales sont bien perpendiculaires. C'est d'ailleurs ce que démontre l'exercice 18 pour un losange quelconque.