Exercice 6

1. D'après la formule $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$ avec $n=9$ et $p=3$ : $$u_{9}=u_{3}+6r \iff 35=11+6r \iff 6r=24 \iff \boxed{r=4}$$ Puis $u_{3}=u_{0}+3r$, d'où $u_{0}=11-12=\boxed{-1}$.

2. $$\boxed{u_{n}=-1+4n}$$ Contrôle : $u_{3}=-1+12=11$ et $u_{9}=-1+36=35$.

3. La somme compte $20$ termes, de $u_{0}$ à $u_{19}$, et $u_{19}=-1+76=75$ : $$u_{0}+u_{1}+\dots+u_{19}=20\times\frac{-1+75}{2}=10\times 74=\boxed{740}$$

4. $$u_{n}>2\,000 \iff -1+4n>2\,000 \iff 4n>2\,001 \iff n>500{,}25$$ $n$ étant un entier : $\boxed{n=501}$. Contrôle : $u_{500}=1\,999$ et $u_{501}=2\,003$.