Exercice 5

1. La suite commence au rang $1$ : $v_{n}=v_{1}+(n-1)r=7-2(n-1)=9-2n$, donc $v_{20}=9-40=-31$. La somme compte $20$ termes : $$v_{1}+v_{2}+\dots+v_{20}=20\times\frac{v_{1}+v_{20}}{2}=20\times\frac{7-31}{2}=\boxed{-240}$$

2. De même, $w_{n}=100-7(n-1)$, donc $w_{20}=100-133=-33$ : $$w_{1}+w_{2}+\dots+w_{20}=20\times\frac{100-33}{2}=10\times 67=\boxed{670}$$

La première somme est négative, la seconde est positive. Le signe d'une telle somme dépend du signe de la moyenne $\dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}$ : dans le premier cas les termes deviennent négatifs très tôt ($v_{5}=-1$), et les termes négatifs l'emportent ; dans le second, les termes restent positifs jusqu'à $w_{15}=2$, et les termes positifs l'emportent largement.