Exercice 1

On utilise la formule du cours : pour tout réel $q\neq 1$ et tout $n\in\mathbb{N}$, $1+q+q^{2}+\dots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$. On repère à chaque fois la raison $q$ et le dernier exposant $n$ : la somme compte alors $n+1$ termes.

1. $q=2$ et $n=10$ : $$1+2+2^{2}+\dots+2^{10}=\frac{1-2^{11}}{1-2}=2^{11}-1=\boxed{2\,047}$$

2. $q=3$ et $n=6$ : $$1+3+3^{2}+\dots+3^{6}=\frac{1-3^{7}}{1-3}=\frac{3^{7}-1}{2}=\frac{2\,186}{2}=\boxed{1\,093}$$

3. $q=\dfrac{1}{2}$ et $n=10$ : $$1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2^{10}}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{11}}{1-\frac{1}{2}} =2\left(1-\frac{1}{2\,048}\right)=2-\frac{1}{1\,024}=\boxed{\frac{2\,047}{1\,024}}$$ La somme est très proche de $2$, sans jamais l'atteindre : l'exercice 9 en donne une interprétation géométrique.

4. Chaque terme est l'opposé du double du précédent : $q=-2$. Comme $256=2^{8}=(-2)^{8}$, le dernier exposant est $n=8$, et la somme compte $9$ termes. $$1-2+4-\dots+256=\frac{1-(-2)^{9}}{1-(-2)}=\frac{1+512}{3}=\boxed{171}$$ L'erreur la plus répandue est d'écrire $(-2)^{9}=512$ : une puissance impaire d'un nombre négatif est négative, donc $(-2)^{9}=-512$.

5. $q=10$ et $n=6$ : $$1+10+100+\dots+10^{6}=\frac{1-10^{7}}{1-10}=\frac{9\,999\,999}{9}=\boxed{1\,111\,111}$$ Le résultat se voit aussi directement en posant l'addition en colonnes : chaque puissance de $10$ apporte un chiffre $1$.