Exercice 2

1. $$\sum_{k=0}^{7}2^{k}=1+2+\dots+2^{7}=\frac{1-2^{8}}{1-2}=2^{8}-1=\boxed{255}$$

2. Le facteur $3$ est commun à tous les termes, on le met en facteur : $$\sum_{k=0}^{5}3\times 2^{k}=3\,(1+2+\dots+2^{5})=3\times(2^{6}-1)=3\times 63=\boxed{189}$$

3. Attention, la somme commence à $k=1$ : il manque le terme $5^{0}=1$. On met $5$ en facteur : $$\sum_{k=1}^{6}5^{k}=5\,(1+5+\dots+5^{5})=5\times\frac{5^{6}-1}{5-1}=5\times\frac{15\,624}{4} =\boxed{19\,530}$$ On peut aussi calculer la somme de $k=0$ à $6$, puis retirer $1$ : $\dfrac{5^{7}-1}{4}-1=19\,531-1=19\,530$.

4. $$\sum_{k=0}^{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{5}}{1-\frac{1}{3}} =\frac{3}{2}\times\left(1-\frac{1}{243}\right)=\frac{3}{2}\times\frac{242}{243}=\boxed{\frac{121}{81}}$$

5. Ici $q=1$, et la formule du cours ne s'applique pas, puisqu'elle demande $q\neq 1$ : on diviserait par $0$. Tous les termes valent $1^{k}=1$, et il y en a $21$, de $k=0$ à $k=20$. $$\sum_{k=0}^{20}1^{k}=\boxed{21}$$

Les termes $(-1)^{k}$ valent alternativement $1$ et $-1$, et se compensent deux à deux : $$\sum_{k=0}^{9}(-1)^{k}=\underbrace{(1-1)+(1-1)+\dots+(1-1)}_{5 \text{ paires}}=\boxed{0} \qquad ; \qquad \sum_{k=0}^{10}(-1)^{k}=0+(-1)^{10}=\boxed{1}$$ On conjecture que la somme vaut $1$ si $n$ est pair et $0$ si $n$ est impair. La formule du cours, avec $q=-1$, le confirme : $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}=\frac{1-(-1)^{n+1}}{1-(-1)}=\frac{1-(-1)^{n+1}}{2} =\left\{\begin{array}{ll} \frac{1+1}{2}=1 & \text{si } n \text{ est pair (} n+1 \text{ impair)} \\[1mm] \frac{1-1}{2}=0 & \text{si } n \text{ est impair} \end{array}\right.$$