Exercice 3

D'après la formule du cours, $1+2+\dots+2^{n}=2^{n+1}-1$ et $1+3+\dots+3^{n}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}$. On se ramène donc à reconnaître une puissance.

1. $2^{n+1}-1=1\,023\iff 2^{n+1}=1\,024=2^{10}\iff n+1=10$, donc $\boxed{n=9}$.

2. $2^{n+1}-1=4\,095\iff 2^{n+1}=4\,096=2^{12}$, donc $\boxed{n=11}$.

3. $\dfrac{3^{n+1}-1}{2}=1\,093\iff 3^{n+1}=2\,187=3^{7}$, donc $\boxed{n=6}$.

Il faudrait $2^{n+1}=1\,001$. Or $2^{9}=512$ et $2^{10}=1\,024$ : aucune puissance de $2$ ne vaut $1\,001$. On peut aussi remarquer que $2^{n+1}-1$ est toujours impair, alors que $1\,000$ est pair. $$\boxed{\text{Il n'existe aucun entier } n \text{ tel que } 1+2+\dots+2^{n}=1\,000}$$