Exercice 7

1. Un entier est premier lorsqu'il n'admet que deux diviseurs positifs. Il suffit donc d'exhiber un diviseur intermédiaire pour conclure qu'il ne l'est pas.

Les cas $51$, $57$, $87$ et $111$ se repèrent par le critère de divisibilité par $3$ : la somme des chiffres vaut respectivement $6$, $12$, $15$ et $3$. Le cas $91$ est le piège classique, car $91$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$ : il faut aller jusqu'à $7$.

2. Le nombre $1$ n'a qu'un seul diviseur positif, lui-même : il en faut exactement deux. Le nombre $2$ en a deux, $1$ et $2$ : il est premier.

3. Un nombre pair autre que $2$ est divisible par $1$, par $2$ et par lui-même : il a donc au moins trois diviseurs. $$\boxed{2 \text{ est le seul nombre premier pair.}}$$

4. Si $101$ admettait un diviseur $d$ supérieur ou égal à $11$, le quotient $\dfrac{101}{d}$ serait un second diviseur, inférieur ou égal à $\dfrac{101}{11}<11$. On l'aurait donc déjà rencontré en testant $2$, $3$, $5$ et $7$. $$\boxed{\text{Il suffit de tester les nombres premiers } p \text{ tels que } p\times p\leqslant n.}$$ Comme $11\times 11=121>101$, les tests s'arrêtent à $7$.