Exercice 10

1. On liste les diviseurs : $$12 : 1 \,;\, 2 \,;\, 3 \,;\, 4 \,;\, 6 \,;\, 12 \qquad\text{soit } \boxed{6 \text{ diviseurs}}$$

2. Pour $12=2^{2}\times 3$, un diviseur s'écrit $2^{a}\times 3^{b}$ avec $a\in\{0;1;2\}$ et $b\in\{0;1\}$ : il y a $3$ choix pour $a$ et $2$ pour $b$, soit $3\times 2=6$ diviseurs. On retrouve bien le compte, et de même $18=2\times 3^{2}$ donne $2\times 3=6$. $$\boxed{\text{On ajoute } 1 \text{ à chaque exposant, puis on multiplie.}}$$

3. Avec $360=2^{3}\times 3^{2}\times 5$ : $$\boxed{(3+1)\times(2+1)\times(1+1)=4\times 3\times 2=24 \text{ diviseurs}}$$

4. On a $90=2\times 3^{2}\times 5$. Un carré parfait est un nombre dont tous les exposants de la décomposition sont pairs. Ici $3$ a l'exposant $2$, qui convient, mais $2$ et $5$ ont l'exposant $1$ : il faut les compléter. $$\boxed{k=2\times 5=10 \qquad\text{et}\qquad 90\times 10=900=30^{2}}$$

5. On a $504=2^{3}\times 3^{2}\times 7$. Les exposants impairs sont ceux de $2$ et de $7$ : $$\boxed{k=2\times 7=14 \qquad\text{et}\qquad 504\times 14=7\,056=84^{2}}$$ Vérification : $504\times 14=2^{4}\times 3^{2}\times 7^{2}=\left(2^{2}\times 3\times 7\right)^{2}=84^{2}$.

6. Écrivons la décomposition de $n$ en facteurs premiers. Celle de $n^{2}$ s'obtient en doublant tous les exposants. Si $3$ divise $n^{2}$, alors $3$ figure dans la décomposition de $n^{2}$, donc son exposant $2e$ y est non nul, donc $e\neq 0$ : le facteur $3$ figure déjà dans la décomposition de $n$. $$\boxed{\text{Si } 3 \text{ divise } n^{2}, \text{ alors } 3 \text{ divise } n.}$$ Ce raisonnement resservira plus loin dans le chapitre, avec $2$ à la place de $3$.