Exercice 9

On décompose, on barre les facteurs communs, puis on multiplie ce qui reste.

a) $84=2^{2}\times 3\times 7$ et $126=2\times 3^{2}\times 7$ : $$\frac{84}{126}=\frac{\cancel{2}\times 2\times\cancel{3}\times\cancel{7}} {\cancel{2}\times\cancel{3}\times 3\times\cancel{7}} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{84}{126}=\frac{2}{3}}$$

b) $225=3^{2}\times 5^{2}$ et $300=2^{2}\times 3\times 5^{2}$ : $$\frac{225}{300}=\frac{\cancel{3}\times 3\times\cancel{5^{2}}} {2^{2}\times\cancel{3}\times\cancel{5^{2}}} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{225}{300}=\frac{3}{4}}$$

c) $588=2^{2}\times 3\times 7^{2}$ et $840=2^{3}\times 3\times 5\times 7$, donc les facteurs communs sont $2^{2}$, $3$ et $7$ : $$\frac{588}{840}=\frac{2^{2}\times 3\times 7\times 7}{2^{2}\times 3\times 7\times 2\times 5} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{588}{840}=\frac{7}{10}}$$

d) $1\,001=7\times 11\times 13$ et $1\,430=2\times 5\times 11\times 13$ : $$\frac{1\,001}{1\,430}=\frac{7\times\cancel{11}\times\cancel{13}}{2\times 5\times\cancel{11}\times\cancel{13}} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{1\,001}{1\,430}=\frac{7}{10}}$$

Dans chaque cas, le numérateur et le dénominateur obtenus n'ont plus aucun facteur premier commun : $2$ et $3$ ; $3$ et $2^{2}$ ; $7$ et $2\times 5$ ; $7$ et $2\times 5$. Les fractions sont donc irréductibles.

On remarquera que c) et d) donnent la même fraction, alors que les nombres de départ n'ont rien de commun.