Exercice 40

1. On développe le carré par double distributivité : $$\left(1+\sqrt{2}\right)^2=\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right) =1+\sqrt{2}+\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}$$ Or $1+\sqrt{2}$ est positif, et la racine carrée d'un nombre est l'unique nombre positif dont le carré vaut ce nombre : $$\boxed{\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}}$$

2. On cherche de même un carré donnant $6+2\sqrt{5}$ : $$\left(1+\sqrt{5}\right)^2=\left(1+\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right) =1+\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=6+2\sqrt{5}$$ Comme $1+\sqrt{5}$ est positif : $$\boxed{\sqrt{6+2\sqrt{5}}=1+\sqrt{5}}$$

3. On remplace les deux racines par les expressions obtenues : $$\begin{aligned} K &= \left(1+\sqrt{2}\right)-\left(1+\sqrt{5}\right)+\sqrt{5}-\sqrt{2}\\ &= 1+\sqrt{2}-1-\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{2} \end{aligned}$$

$$\boxed{K=0}$$ Bien que son écriture fasse intervenir plusieurs irrationnels, $K$ est donc un entier naturel.