Exercice 41

1. On vérifie les deux égalités : $$\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2} \quad\text{et}\quad 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \qquad ; \qquad \frac{1}{2\times 3}=\frac{1}{6} \quad\text{et}\quad \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$$

2. Soit $k$ un entier naturel non nul. On réduit au même dénominateur $k(k+1)$ : $$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}$$

3. On remplace chaque terme par une différence : les termes intermédiaires se simplifient deux à deux. $$S=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) =1-\frac{1}{4}=\boxed{\frac{3}{4}} \qquad\text{pour } n=3$$

4. Dans les deux cas, il ne reste que le premier et le dernier terme, ce qui conduit à conjecturer : $$\boxed{S=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}}$$ Pour $n=10$, la formule donne $S=\dfrac{10}{11}$, ce que l'on retrouve bien en calculant $1-\dfrac{1}{11}$.

5. Le nombre $\dfrac{1}{n+1}$ est strictement positif quel que soit l'entier $n\geqslant 1$, donc $S=1-\dfrac{1}{n+1}$ est toujours strictement inférieur à $1$ : $$\boxed{S\text{ ne peut ni valoir }1\text{, ni le dépasser}}$$ En revanche, en prenant $n$ de plus en plus grand, $S$ s'approche autant que l'on veut de $1$.