Exercice 42

1. On effectue les produits : $$a=2^{3}\times 3^{2}\times 5=8\times 9\times 5 \qquad b=2^{2}\times 3\times 5^{2}\times 7=4\times 3\times 25\times 7$$

2. Les facteurs communs sont $2^{2}$, $3$ et $5$ : $$\frac{a}{b}=\frac{\cancel{2^{2}}\times 2\times\cancel{3}\times 3\times\cancel{5}} {\cancel{2^{2}}\times\cancel{3}\times\cancel{5}\times 5\times 7} =\frac{2\times 3}{5\times 7} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{a}{b}=\frac{6}{35}}$$ On vérifie que $6=2\times 3$ et $35=5\times 7$ n'ont plus de facteur commun.

3. On additionne les exposants de chaque facteur premier : $$a\times b=2^{3+2}\times 3^{2+1}\times 5^{1+2}\times 7=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{3}\times 7$$ Les exposants $5$, $3$, $3$ et $1$ sont tous impairs. $$\boxed{a\times b \text{ n'est pas un carré parfait.}}$$

4. Dans $a=2^{3}\times 3^{2}\times 5$, les exposants impairs sont ceux de $2$ et de $5$ : $$\boxed{k=2\times 5=10 \qquad\text{et}\qquad a\times 10=3\,600=60^{2}}$$

5. Si $\sqrt{a}$ était rationnel, ce serait un entier $n$ vérifiant $n^{2}=a$, et $a$ serait un carré parfait — ce qu'il n'est pas, d'après la question 4. En revanche $a\times 10=3\,600=60^{2}$. $$\boxed{\sqrt{a} \text{ est irrationnel, tandis que } \sqrt{a\times 10}=60 \text{ est un entier.}}$$

6. On ajoute $1$ à chaque exposant de $b=2^{2}\times 3\times 5^{2}\times 7$, puis on multiplie : $$\boxed{(2+1)\times(1+1)\times(2+1)\times(1+1)=3\times 2\times 3\times 2=36 \text{ diviseurs}}$$