Exercice 27

On réduit au même dénominateur avant d'additionner, et on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux pour un produit.

a) Valeurs interdites : $0$ et $-1$. $$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\frac{3x}{x(x+1)}=\frac{2x+2+3x}{x(x+1)} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{5x+2}{x(x+1)}}$$

b) Valeur interdite : $3$. $$x+\frac{1}{x-3}=\frac{x(x-3)}{x-3}+\frac{1}{x-3} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{x^2-3x+1}{x-3}}$$

c) Valeurs interdites : $1$ et $-1$. $$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}-\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} =\frac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{2}{(x-1)(x+1)}}$$

d) Valeur interdite : $-2$. $$\frac{x}{x+2}+2=\frac{x}{x+2}+\frac{2(x+2)}{x+2}=\frac{x+2x+4}{x+2} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{3x+4}{x+2}}$$

e) Valeurs interdites : $0$ et $2$. $$\frac{3}{x}\times\frac{x+1}{x-2}=\frac{3\times(x+1)}{x\times(x-2)} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{3(x+1)}{x(x-2)}}$$

f) Valeurs interdites : $0$, $4$ et $-1$ (cette dernière annulerait le diviseur). $$\frac{x+1}{x}\div\frac{x+1}{x-4}=\frac{x+1}{x}\times\frac{x-4}{x+1} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{x-4}{x}}$$