ExerciceSeconde, chapitre 2 — Calcul littéral · Exercices de synthèse

Exercice 28

Calcul

On considère un carré de côté $x$ (avec $x>3$ ) auquel on retire, dans un coin, un carré de côté $3$ . La figure obtenue est coloriée ci-dessous (la figure n'est pas à l'échelle) :

1. Exprimer l'aire de la surface coloriée en fonction de $x$ , comme une différence de deux carrés.

2. Le trait violet partage la surface coloriée en deux rectangles. Donner les dimensions de chacun d'eux en fonction de $x$ , puis exprimer l'aire de la surface coloriée sous la forme d'une somme de deux produits.

3. Factoriser l'expression obtenue à la question 2., et en déduire une égalité entre l'écriture de la question 1. et un produit.

4. Vérifier cette égalité en développant.

Corrigé

1. La surface coloriée est le grand carré, d'aire $x^2$ , privé du petit carré, d'aire $3^2$ : $\boxed{\mathcal{A}=x^2-9}$

2. Le trait violet est tracé à la hauteur du côté du petit carré. Il partage la surface en :

• un rectangle du bas, de largeur $x$ et de hauteur $x-3$  ;

• un rectangle du haut, de largeur $x-3$ et de hauteur $3$ .

\boxed{\mathcal{A}=x(x-3)+3(x-3)}

3. Le facteur commun est $(x-3)$ : $x(x-3)+3(x-3)=(x-3)(x+3)$ Les deux écritures désignant la même aire, on en déduit que : $\boxed{x^2-9=(x+3)(x-3)}$

4. On développe le membre de droite : $(x+3)(x-3)=x^2-3x+3x-9=x^2-9$ ce qui confirme l'égalité : on retrouve géométriquement l'identité de la différence de deux carrés.

Énoncé PDF, p. 6 Corrigé PDF, p. 11 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Racines et multiplicités ℤ est un anneau commutatif intègre

Thèmes

factorisation, interprétation géométrique, somme et produit

Notions

anneau de polynômes, anneau