Exercice 30

1. $2\,\%$ de la population est malade, donc $P(M)=0{,}02$ et $P\left(\overline{M}\right)=0{,}98$. Les deux autres données concernent des sous-populations : ce sont des probabilités conditionnelles. $$\boxed{P(M)=0{,}02\qquad P_M(T)=0{,}95 \qquad P_{\overline{M}}(T)=0{,}03}$$

2. $$P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T)=0{,}02\times 0{,}95=\boxed{0{,}019}$$

3. Un test positif concerne soit un malade, soit une personne saine : $$P(T)=P(M\cap T)+P\left(\overline{M}\cap T\right)=0{,}019+0{,}029\,4 =\boxed{0{,}048\,4}$$

4. On sait maintenant que le test est positif : $$P_T(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}019}{0{,}048\,4} \approx\boxed{0{,}393}$$

5. Ce résultat est surprenant : le test paraît très fiable ($95\,\%$ de détection), et pourtant moins de $40\,\%$ des personnes testées positives sont réellement malades.

L'explication tient au nombre de personnes concernées. Sur $10\,000$ habitants :

• $200$ sont malades, dont $200\times 0{,}95=190$ sont testées positives ;

• $9\,800$ sont saines, et même avec seulement $3\,\%$ d'erreurs, $9\,800\times 0{,}03=294$ d'entre elles sont testées positives.

Il y a donc $190+294=484$ tests positifs, dont seulement $190$ correspondent à de vrais malades : $\dfrac{190}{484}\approx 0{,}393$. Les personnes saines étant très nombreuses, leurs rares erreurs de test sont plus nombreuses que les vrais malades détectés. $$\boxed{\text{Un test positif doit donc toujours être confirmé par un second examen.}}$$