ExerciceSeconde, chapitre 5 — Géométrie cartésienne · Distance entre deux points

Exercice 17

DémonstrationCalcul

Pour montrer qu'un triangle est rectangle, on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : c'est la réciproque du théorème de Pythagore. On travaillera donc directement sur les carrés des longueurs, ce qui évite les racines.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle, avec $A(1\,;-1)$ , $B(5\,;1)$ et $C(3\,;5)$ . Préciser en quel sommet.

2. Même question avec $A(-2\,;2)$ , $B(4\,;0)$ et $C(0\,;8)$ .

3. Le triangle $ABC$ avec $A(0\,;1)$ , $B(3\,;2)$ et $C(1\,;5)$ est-il rectangle ?

4. Calculer l'aire du triangle de la question 1.

Corrigé

1. $AB^{2}=16+4=20$ , $BC^{2}=4+16=20$ , $AC^{2}=4+36=40$ .

Le plus grand carré est $AC^{2}=40$ , et $AB^{2}+BC^{2}=20+20=40$ : $\boxed{ABC \text{ est rectangle en } B \text{ (et même isocèle).}}$

2. $AB^{2}=36+4=40$ , $AC^{2}=4+36=40$ , $BC^{2}=16+64=80$ .

On a $AB^{2}+AC^{2}=80=BC^{2}$ : $\boxed{ABC \text{ est rectangle isocèle en } A.}$

3. $AB^{2}=9+1=10$ , $AC^{2}=1+16=17$ , $BC^{2}=4+9=13$ .

Le plus grand carré est $17$ , et $10+13=23\neq 17$ : $\boxed{ABC \text{ n'est pas rectangle.}}$

4. Le triangle de la question 1 est rectangle en $B$ , ses côtés de l'angle droit mesurent $AB=BC=\sqrt{20}$ : $\text{Aire}=\frac{AB\times BC}{2}=\frac{\sqrt{20}\times\sqrt{20}}{2}=\frac{20}{2}=\boxed{10}$ On remarque que travailler sur les carrés des longueurs évite toute racine carrée jusqu'au bout : c'est plus rapide et plus sûr.

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