Exercice 18

1. Un point appartient au cercle si sa distance au centre $A$ vaut exactement $5$, donc si le carré de cette distance vaut $25$ : $$AB^{2}=9+16=25 \qquad AC^{2}=9+16=25 \qquad AD^{2}=16+9=25 \qquad AE^{2}=4+1=5$$ Les trois premiers valent bien $25$, le dernier non. $$\boxed{B,\ C \text{ et } D \text{ appartiennent à } \mathcal{C} \text{ ; } E \text{ non.}}$$

2. Un point de l'axe des abscisses s'écrit $M(x\,;0)$. La condition $FM=5$ s'écrit : $$(x-3)^{2}+(0-4)^{2}=25 \iff (x-3)^{2}+16=25 \iff (x-3)^{2}=9$$ d'où $x-3=3$ ou $x-3=-3$ : $$\boxed{(6\,;0) \quad\text{et}\quad (0\,;0)}$$

3. Un point de l'axe des ordonnées s'écrit $M(0\,;y)$. La condition $GM=HM$ s'écrit, en passant aux carrés : $$4+(y-1)^{2}=16+(y-3)^{2} \iff 4+y^{2}-2y+1=16+y^{2}-6y+9$$

$$\boxed{(0\,;5)}$$ Vérification : $\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ des deux côtés.

4. $KL^{2}=9+1=10$ et $KM^{2}=1+9=10$, donc $KL=KM$ : $$\boxed{K \text{ est équidistant de } L \text{ et } M \text{ : il appartient à la médiatrice de } [LM].}$$