ExerciceSeconde, chapitre 5 — Géométrie cartésienne · Distance entre deux points

Exercice 19

Calcul

Dans chaque cas, déterminer la nature précise du quadrilatère $ABCD$ . On commencera par comparer les milieux des diagonales, puis on calculera les longueurs utiles.

1. $A(-2\,;1)$ , $B(1\,;3)$ , $C(3\,;0)$ et $D(0\,;-2)$

2. $A(0\,;0)$ , $B(4\,;2)$ , $C(3\,;4)$ et $D(-1\,;2)$

3. $A(1\,;1)$ , $B(5\,;2)$ , $C(6\,;5)$ et $D(2\,;4)$

Corrigé

1. Milieux des diagonales : $[AC]$ donne $(0{,}5\,;0{,}5)$ et $[BD]$ aussi : c'est un parallélogramme. Les quatre côtés valent tous $\sqrt{13}$ , c'est donc un losange. Enfin $AC=\sqrt{26}$ et $BD=\sqrt{26}$ : les diagonales sont égales. $\boxed{ABCD \text{ est un carré.}}$

2. Milieux des diagonales : $(1{,}5\,;2)$ des deux côtés, c'est un parallélogramme. On a $AB^{2}=20$ et $BC^{2}=5$ : les côtés consécutifs diffèrent, ce n'est pas un losange. En revanche $AC^{2}=25$ et $BD^{2}=25$ : $\boxed{ABCD \text{ est un rectangle (non carré).}}$

3. Milieux des diagonales : $(3{,}5\,;3)$ des deux côtés, c'est un parallélogramme. Mais $AB^{2}=17$ et $BC^{2}=10$ (pas un losange), et $AC^{2}=41$ tandis que $BD^{2}=13$ (pas un rectangle) : $\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme quelconque.}}$

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