ExerciceSeconde, chapitre 5 — Géométrie cartésienne · Distance entre deux points

Exercice 16

Calcul

Dans un repère orthonormé, déterminer la nature précise de chacun des triangles suivants. On calculera à chaque fois les trois longueurs, en les laissant sous forme de racines carrées.

1. $A(0\,;0)$ , $B(6\,;0)$ et $C(3\,;5)$

2. $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ et $C(4\,;3)$

3. $A(-1\,;0)$ , $B(3\,;2)$ et $C(1\,;-4)$

4. $A(1\,;1)$ , $B(5\,;2)$ et $C(2\,;6)$

Corrigé

On calcule les trois longueurs et l'on compare. On garde les racines carrées : arrondir empêcherait toute comparaison exacte.

1. $AB=\sqrt{36+0}=6$ , $AC=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$ , $BC=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$ .

Deux côtés sont égaux : $\boxed{ABC \text{ est isocèle en } C.}$

Il n'est pas rectangle : $AC^{2}+BC^{2}=68$ alors que $AB^{2}=36$ , et le plus grand côté est $\sqrt{34}$ , pour lequel $34\neq 36+34$ .

2. $AB=\sqrt{16}=4$ , $BC=\sqrt{0+9}=3$ , $AC=\sqrt{16+9}=5$ .

Le plus grand côté est $[AC]$ , et $AB^{2}+BC^{2}=16+9=25=AC^{2}$ : $\boxed{ABC \text{ est rectangle en } B \text{ (et non isocèle).}}$

3. $AB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$ , $AC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ , $BC=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$ .

On a $AB=AC$ , et $AB^{2}+AC^{2}=20+20=40=BC^{2}$ : $\boxed{ABC \text{ est rectangle isocèle en } A.}$

4. $AB=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$ , $AC=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$ , $BC=\sqrt{9+16}=5$ .

Les trois longueurs sont différentes, et $AB^{2}+BC^{2}=17+25=42\neq 26$ : $\boxed{ABC \text{ est un triangle quelconque.}}$

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