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ExerciceSeconde, chapitre 10 — Vecteurs · Vecteurs et translations

Exercice 1

Démonstration

Sur le quadrillage ci-dessous sont représentés cinq vecteurs.

Figure

1. En comptant les carreaux, indiquer pour chaque vecteur de combien de carreaux il faut se déplacer horizontalement, puis verticalement.

2. Quels sont les vecteurs qui ont la même direction ? Justifier.

3. Parmi ceux-là, lesquels ont le même sens ?

4. Quels sont les deux vecteurs égaux ? Justifier en comparant direction, sens et longueur.

5. Quels sont les deux vecteurs opposés l'un de l'autre ?

6. Le vecteur u5⃗\vec{u_{5}} est-il égal à u1⃗\vec{u_{1}} ? Sinon, quelle relation les lie ?

Corrigé

1. On compte les carreaux parcourus horizontalement puis verticalement.

VecteurHorizontalVerticalDescription
u1⃗\vec{u_{1}}33 vers la droite11 vers le haut
u2⃗\vec{u_{2}}33 vers la droite11 vers le hautidentique à u1⃗\vec{u_{1}}
u3⃗\vec{u_{3}}33 vers la gauche11 vers le basinverse de u1⃗\vec{u_{1}}
u4⃗\vec{u_{4}}22 vers la droite11 vers le haut
u5⃗\vec{u_{5}}66 vers la droite22 vers le hautle double de u1⃗\vec{u_{1}}

2. Deux vecteurs ont la même direction lorsque leurs représentants sont portés par des droites parallèles. En comparant les déplacements : u1⃗,  u2⃗,  u3⃗ et u5⃗ ont la meˆme direction\boxed{\vec{u_{1}}, \; \vec{u_{2}}, \; \vec{u_{3}} \text{ et } \vec{u_{5}} \text{ ont la même direction}} En effet, tous correspondent à un déplacement de 33 carreaux horizontalement pour 11 verticalement, ou à un multiple de ce déplacement. Le vecteur u4⃗\vec{u_{4}} fait exception : 22 pour 11.

3. Parmi ces quatre-là, u3⃗\vec{u_{3}} va vers la gauche et vers le bas, les autres vers la droite et vers le haut : u1⃗,  u2⃗ et u5⃗ ont le meˆme sens\boxed{\vec{u_{1}}, \; \vec{u_{2}} \text{ et } \vec{u_{5}} \text{ ont le même sens}}

4. u1⃗=u2⃗\boxed{\vec{u_{1}}=\vec{u_{2}}} Ils ont la même direction, le même sens et la même longueur : ce sont deux représentants d'un même vecteur. Le quadrilatère formé par leurs origines et leurs extrémités est d'ailleurs un parallélogramme.

5. u3⃗=−u1⃗=−u2⃗\boxed{\vec{u_{3}}=-\vec{u_{1}}=-\vec{u_{2}}} Même direction, même longueur, mais sens contraire.

6. Non : u5⃗\vec{u_{5}} a la même direction et le même sens que u1⃗\vec{u_{1}}, mais sa longueur est deux fois plus grande. u5⃗=2 u1⃗\boxed{\vec{u_{5}}=2\,\vec{u_{1}}}

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Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espacesNormes et topologie associée

Thèmes

égalité de vecteurs, norme, vecteurs

Notions

norme, espace vectoriel

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