Exercice 4

1. Le point $I$ étant le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[DC]$, les segments $[AI]$, $[IB]$, $[DJ]$ et $[JC]$ ont tous la même longueur, et sont tous parallèles et de même sens. $$\boxed{\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{JC}}$$

2. $$\boxed{\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{IJ}}$$ Le vecteur $\overrightarrow{IJ}$ convient car $AIJD$ est un parallélogramme, comme le montre la question 4.

3. Oui : d'après la question 1, ces deux vecteurs sont tous deux égaux à $\overrightarrow{AI}$. $$\boxed{\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{JC}}$$

4. On a $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{DJ}$ d'après la question 1. D'après la proposition 1, cette égalité signifie que : $$\boxed{AIJD \text{ est un parallélogramme}}$$ On vérifie l'ordre des lettres : on part de $A$, on va en $I$, puis on rejoint $J$, extrémité du second vecteur, avant de revenir par $D$.

5. $$\boxed{-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD} \qquad \text{et} \qquad -\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{JI}}$$