Exercice 8

1. Dans le parallélogramme $ABCD$, on a $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Donc : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

$$\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}}$$ La diagonale issue de $A$ porte donc la somme des deux côtés issus de $A$ : c'est la règle du parallélogramme énoncée par Newton en tête du chapitre.

2. (a) Le point $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$, puisque les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OC}$ ont donc même direction, même longueur et sens contraires : $$\boxed{\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}}$$

(b) On regroupe les termes deux à deux : $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} =\underbrace{\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)}_{=\,\vec{0}} +\underbrace{\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)}_{=\,\vec{0}}$$

3. C'est la question a) de l'exercice 7 : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$$

$$\boxed{\text{Parcourir un triangle en entier, c'est revenir à son point de départ}}$$ Le déplacement total est donc nul, quelle que soit la forme du triangle.