Exercice 9

1. Le point $I$ étant le milieu de $[AB]$, les segments $[AI]$ et $[IB]$ ont la même longueur, et les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ ont la même direction — celle de la droite $(AB)$ — et le même sens, puisque l'on parcourt le segment de $A$ vers $B$. $$\boxed{\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}}$$

2. En remplaçant $\overrightarrow{IB}$ par $\overrightarrow{AI}$ dans la relation de Chasles : $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{II}=\boxed{\vec{0}}$$

3. $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AI}=\boxed{2\,\overrightarrow{AI}}$$

4. L'égalité $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}=\vec{0}$ signifie $\overrightarrow{JB}=-\overrightarrow{JA}=\overrightarrow{AJ}$, c'est-à-dire que $J$ est situé sur $[AB]$ à égale distance de $A$ et de $B$. $$\boxed{J \text{ est le milieu de } [AB]}$$ La propriété de la question 2 est donc caractéristique du milieu.

5. On introduit $M$ dans chacun des deux vecteurs : $$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} &= \left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}\right) \\ &= 2\,\overrightarrow{AM}+\underbrace{\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)}_{=\,\vec{0}} \end{aligned}$$ la dernière parenthèse étant nulle d'après la question 2, puisque $M$ est le milieu de $[BC]$. $$\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AM}}$$