Exercice 12

1. $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-2 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}} \qquad ; \qquad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -2-4 \\ 5-3 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}}$$

2. En notant $D(x\,;y)$, le vecteur $\overrightarrow{CD}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x+2 \\ y-5 \end{pmatrix}$. L'égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ impose l'égalité des coordonnées : $$\left\{\begin{array}{l} x+2=3 \\ y-5=1 \end{array}\right. \qquad \Longrightarrow \qquad \left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=6 \end{array}\right.$$

3. De même, $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}$ donne : $$\left\{\begin{array}{l} x-1=-6 \\ y-2=2 \end{array}\right. \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{E(-5\,;4)}$$

4. Le quadrilatère $ABCF$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FC}$. En notant $F(x\,;y)$ : $$\left\{\begin{array}{l} -2-x=3 \\ 5-y=1 \end{array}\right. \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{F(-5\,;4)}$$ On constate que $E$ et $F$ sont confondus, ce qui n'a rien d'étonnant : $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}$ signifie que $ABCE$ est un parallélogramme.

5.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont bien deux flèches identiques, décalées l'une de l'autre.