ExerciceSeconde, chapitre 10 — Vecteurs · Coordonnées d'un vecteur

Exercice 13

Calcul

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. Calculer la norme de chacun des vecteurs suivants. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième si nécessaire.

(a) $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

(b) $\vec{v}\begin{pmatrix} -5 \\ 12 \end{pmatrix}$

(c) $\vec{w}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(d) $\vec{s}\begin{pmatrix} 0 \\ -7 \end{pmatrix}$

(e) $\vec{t}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

(f) $\vec{r}\begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix}$

2. Soient $A(1\,;2)$ , $B(4\,;6)$ et $C(-3\,;5)$ . Calculer $AB$ , $AC$ et $BC$ .

3. En déduire la nature du triangle $ABC$ .

Corrigé

1. On applique $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

(a) $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\boxed{5}$

(b) $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=\boxed{13}$

(c) $\sqrt{1+1}=\boxed{\sqrt{2}\approx 1{,}41}$

(d) $\sqrt{0+49}=\boxed{7}$

(e) $\sqrt{4+9}=\boxed{\sqrt{13}\approx 3{,}61}$

(f) $\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=\boxed{10}$

On remarquera en f) que $\vec{r}=-2\,\vec{u}$ : sa norme est bien le double de celle de $\vec{u}$ .

2. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \; \Longrightarrow \; AB=\sqrt{9+16}=\boxed{5}$

\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} \; \Longrightarrow \; AC=\sqrt{16+9}=\boxed{5}

\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -7 \\ -1 \end{pmatrix} \; \Longrightarrow \; BC=\sqrt{49+1}=\boxed{\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07}

3. Comme $AB=AC=5$ : $\boxed{\text{Le triangle } ABC \text{ est isocèle en } A}$ On peut même préciser : $AB^{2}+AC^{2}=25+25=50=BC^{2}$ , donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, il est aussi rectangle en $A$ . $\boxed{\text{Le triangle } ABC \text{ est rectangle et isocèle en } A}$

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