ExerciceSeconde, chapitre 10 — Vecteurs · Coordonnées d'un vecteur

Exercice 14

Calcul

On considère les points $A(-1\,;2)$ , $B(3\,;4)$ et $C(5\,;1)$ .

1. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

On commencera par traduire cette propriété par une égalité vectorielle.

2. Calculer les coordonnées du milieu de $[AC]$ , puis celles du milieu de $[BD]$ .

3. Que constate-t-on ? Quelle propriété du parallélogramme retrouve-t-on ainsi ?

4. Faire une figure pour illustrer les résultats.

Corrigé

1. Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ . On calcule d'abord $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ , puis on note $D(x\,;y)$ : $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 5-x \\ 1-y \end{pmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad \left\{\begin{array}{l} 5-x=4 \\ 1-y=2 \end{array}\right.$

\boxed{D(1\,;-1)}

2. Le milieu d'un segment a pour coordonnées la moyenne de celles de ses extrémités. $\text{milieu de } [AC] : \left(\frac{-1+5}{2}\,;\frac{2+1}{2}\right) =\boxed{\left(2\,;\frac{3}{2}\right)}$

\text{milieu de } [BD] : \left(\frac{3+1}{2}\,;\frac{4-1}{2}\right) =\boxed{\left(2\,;\frac{3}{2}\right)}

3. $\boxed{\text{Les deux milieux sont confondus}}$

\boxed{\text{Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu}}

Le point violet, intersection des deux diagonales, a bien pour coordonnées $\left(2\,;\dfrac{3}{2}\right)$ .

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Thèmes

égalité de vecteurs, parallélogramme, coordonnées d.un vecteur