Exercice 17

1. La relation de Chasles donne $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$, et $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{u}$ : $$\boxed{\overrightarrow{BC}=\vec{v}-\vec{u}}$$

2. D'après la question 5 de l'exercice 9, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AI}$ puisque $I$ est le milieu de $[BC]$ : $$\boxed{\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\left(\vec{u}+\vec{v}\right)}$$

3. L'égalité $\overrightarrow{AD}=\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ est exactement la règle du parallélogramme démontrée à l'exercice 8 : $$\boxed{ABDC \text{ est un parallélogramme}}$$ On retrouve l'ordre des lettres : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, donc $ABDC$.

4. D'après la question 2, $\vec{u}+\vec{v}=2\,\overrightarrow{AI}$, donc : $$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\times 2\,\overrightarrow{AI}=\boxed{\frac{2}{3}\,\overrightarrow{AI}}$$ Le point $G$ se trouve donc sur le segment $[AI]$, aux deux tiers en partant de $A$ : c'est le centre de gravité du triangle $ABC$.