Exercice 18

1. Le vecteur $\vec{u}+x\,\vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1+2x \\ 2-x \end{pmatrix}$. L'égalité avec $\vec{w}$ donne : $$\left\{\begin{array}{l} 1+2x=5 \\ 2-x=0 \end{array}\right. \qquad \Longrightarrow \qquad \left\{\begin{array}{l} x=2 \\ x=2 \end{array}\right.$$ Les deux équations donnent la même valeur : le système est compatible. $$\boxed{x=2}$$

2. Le vecteur $a\,\vec{u}+b\,\vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3a-2b \\ -a+4b \end{pmatrix}$, d'où le système : $$\left\{\begin{array}{l} 3a-2b=-1 \\ -a+4b=7 \end{array}\right.$$ La seconde équation donne $a=4b-7$. En reportant dans la première : $$3(4b-7)-2b=-1 \iff 12b-21-2b=-1 \iff 10b=20 \iff b=2$$ puis $a=8-7=1$. $$\boxed{a=1 \text{ et } b=2}$$ Vérification : $1\times\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} +2\times\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$.

3. Le système devient : $$\left\{\begin{array}{l} 3a-2b=1 \\ -a+4b=1 \end{array}\right.$$ La seconde donne $a=4b-1$, d'où $3(4b-1)-2b=1$, soit $10b=4$ et $b=\dfrac{2}{5}$, puis $a=\dfrac{8}{5}-1=\dfrac{3}{5}$. $$\boxed{a=\frac{3}{5} \text{ et } b=\frac{2}{5}}$$

On observe que dans les trois cas le système admet une unique solution : c'est parce que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Tout vecteur du plan peut alors s'écrire, d'une seule façon, comme combinaison de ces deux-là.