ExerciceSeconde, chapitre 10 — Vecteurs · Opérations sur les vecteurs

Exercice 16

Démonstration

Sur la figure ci-dessous est représenté un vecteur $\vec{u}$ .

1. Reproduire la figure, puis construire les représentants d'origine $O$ des vecteurs suivants : $2\vec{u}$ , $\dfrac{1}{2}\vec{u}$ , $-\vec{u}$ et $-\dfrac{3}{2}\vec{u}$ .

2. Pour chacun, préciser sa longueur en fonction de celle de $\vec{u}$ , ainsi que son sens par rapport à celui de $\vec{u}$ .

3. Existe-t-il un réel $k$ tel que $k\vec{u}$ soit le vecteur nul ? Lequel ?

4. Les vecteurs $3\vec{u}$ et $-5\vec{u}$ sont-ils colinéaires ? Justifier sans calcul.

Corrigé

1. Le vecteur $\vec{u}$ correspond à un déplacement de $2$ carreaux vers la droite et $1$ vers le haut. On multiplie donc ce déplacement par le coefficient.

Vecteur	Longueur	Sens
$2\vec{u}$	$2\times\\|\vec{u}\\|$	même sens que $\vec{u}$
$\frac{1}{2}\vec{u}$	$\frac{1}{2}\times\\|\vec{u}\\|$	même sens que $\vec{u}$
$-\vec{u}$	$\\|\vec{u}\\|$	sens contraire
$-\frac{3}{2}\vec{u}$	$\frac{3}{2}\times\\|\vec{u}\\|$	sens contraire

La longueur est toujours $|k|\times\|\vec{u}\|$ : c'est la valeur absolue du coefficient qui intervient, jamais son signe.

3. Oui, une seule : $\boxed{k=0 \text{ donne } 0\,\vec{u}=\vec{0}}$

4. Oui. Les vecteurs $3\vec{u}$ et $-5\vec{u}$ sont tous deux des multiples de $\vec{u}$ : ils ont donc la même direction que $\vec{u}$ , donc la même direction entre eux. $\boxed{3\vec{u} \text{ et } -5\vec{u} \text{ sont colinéaires}}$ On peut d'ailleurs écrire $-5\vec{u}=-\dfrac{5}{3}\times 3\vec{u}$ .

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Dans l'édifice

Normes et topologie associée Familles libres, génératrices, bases Déterminant d'une matrice carrée Espaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

norme, colinéarité, vecteurs

Notions

norme, déterminant, espace vectoriel