Exercice 21

Pour tester l'alignement de trois points, on calcule le déterminant de deux vecteurs formés à partir d'un même point.

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $$\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=3\times 6-9\times 2=18-18=0$$

2. $\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$ : $$\det\left(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF}\right)=2\times 12-5\times 5=24-25=-1$$

3. $\overrightarrow{GH}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{GI}\begin{pmatrix} 8 \\ -12 \end{pmatrix}$ : $$\det\left(\overrightarrow{GH},\overrightarrow{GI}\right)=4\times(-12)-8\times(-6)=-48+48=0$$

Figure du cas 2.

En bleu ardoise la droite $(DF)$, en pointillés ocre la droite $(DE)$ prolongée : les trois points paraissent alignés à l'œil nu, et pourtant ils ne le sont pas. Le point $E$ est très légèrement au-dessus de la droite $(DF)$. $$\boxed{\text{Seul le calcul du déterminant permet de conclure avec certitude}}$$