Exercice 22

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ : $$\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=3\times 4-6\times 2=0$$

2. $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{GH}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ : $$\det\left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{GH}\right)=3\times 3-3\times 2=9-6=3\neq 0$$

3. Vérifions que $C$ n'appartient pas à la droite $(AB)$. On calcule $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ : $$\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=3\times 4-(-1)\times 2=12+2=14\neq 0$$ Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés, et les quatre points ne le sont pas non plus. Comme de plus $\overrightarrow{CD}=2\,\overrightarrow{AB}$, les deux droites sont parallèles mais les segments n'ont pas la même longueur. $$\boxed{ABDC \text{ est un trapèze, mais ce n'est pas un parallélogramme}}$$ En effet $\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{CD}$ : les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles, mais $[CD]$ est deux fois plus long.