Exercice 23

On écrit à chaque fois que le déterminant est nul, puis on résout l'équation obtenue.

1. $$3\times 4-6\times m=0 \iff 12-6m=0 \iff \boxed{m=2}$$

2. $$m\times(-3)-2\times 5=0 \iff -3m-10=0 \iff \boxed{m=-\frac{10}{3}}$$

3. On calcule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ m-2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$, puis : $$3\times 6-6\times(m-2)=0 \iff 18-6m+12=0 \iff 30=6m \iff \boxed{m=5}$$ Vérification : pour $m=5$, on a $B(4\,;5)$, et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ est bien colinéaire à $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$.

4. $$m\times 2-3\times(m+1)=0 \iff 2m-3m-3=0 \iff -m=3 \iff \boxed{m=-3}$$ Vérification : pour $m=-3$, $\vec{u}\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}=-\vec{v}$.