Exercice 29

1. Le déplacement total est la somme des deux déplacements : $$\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix} 4+0 \\ 0+3 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}}$$

2. $$\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=\boxed{5}$$

$$\boxed{\text{C'est la distance à vol d'oiseau entre le départ et l'étape, soit } 5 \text{ km}}$$ Il a marché $4+3=7$ km, mais ne se trouve qu'à $5$ km de son point de départ.

3. $$\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 3+2 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}}$$

4. Le point d'arrivée est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$. Comme $A$ est l'origine : $$\boxed{\text{Le point d'arrivée a pour coordonnées } (3\,;5)}$$

5. Pour revenir en $A$, il faut effectuer le déplacement opposé : $$\boxed{-\left(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\right) \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \end{pmatrix}}$$ soit $3$ km vers l'ouest et $5$ km vers le sud, pour une distance totale de $\sqrt{34}\approx 5{,}83$ km.