Exercice 28

1. $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad ; \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$$

2. On calcule $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}$, puis : $$\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=3\times 7-6\times 2=21-12=9\neq 0$$

3. En notant $E(x\,;y)$, l'égalité $\overrightarrow{AE}=2\,\overrightarrow{AB}$ donne : $$\left\{\begin{array}{l} x+1=6 \\ y+1=4 \end{array}\right. \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{E(5\,;3)}$$ Première justification. Par construction, $\overrightarrow{AE}=2\,\overrightarrow{AB}$ : les deux vecteurs sont colinéaires, donc $E$ appartient à $(AB)$.

Seconde justification. Par le calcul : $\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}\right)=3\times 4-6\times 2=0$. $$\boxed{A, \; B \text{ et } E \text{ sont alignés}}$$

4. En notant $F(x\,;y)$, l'égalité $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}$ donne : $$\left\{\begin{array}{l} x-5=3 \\ y-6=2 \end{array}\right. \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{F(8\,;8)}$$ Comme $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}$, ces deux vecteurs sont en particulier colinéaires : $$\boxed{(AB) \text{ et } (DF) \text{ sont parallèles}}$$ Elles sont d'ailleurs distinctes, puisque $D$ n'appartient pas à $(AB)$ d'après la question 2.