Exercice 27

1. Voir la figure de l'énoncé.

2. Dans le repère $\left(A\,;B,D\right)$, le point $A$ est l'origine, le point $B$ est l'extrémité du premier vecteur de base et $D$ celle du second. $$\boxed{A(0\,;0) \quad ; \quad B(1\,;0) \quad ; \quad C(1\,;1) \quad ; \quad D(0\,;1)}$$ Le point $C$ s'obtient par la règle du parallélogramme : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

3. Soit un triangle équilatéral de côté $1$, et $H$ le pied de la hauteur issue du sommet opposé à la base. Cette hauteur coupe la base en son milieu, donc la moitié de la base mesure $\dfrac{1}{2}$. Le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ainsi formé donne : $$h^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1^{2} \iff h^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

4. Point $I$. Le triangle $ABI$ est équilatéral de côté $1$, construit au-dessus de $[AB]$. Son sommet $I$ se trouve à l'aplomb du milieu de $[AB]$, à la hauteur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : $$\boxed{I\left(\frac{1}{2}\,;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$$

Point $V$. Le triangle $BCV$ est équilatéral de côté $1$, construit à droite du segment vertical $[BC]$. Son sommet $V$ se trouve donc à la hauteur du milieu de $[BC]$, c'est-à-dire à l'ordonnée $\dfrac{1}{2}$, et décalé de $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ vers la droite par rapport à l'abscisse $1$ : $$\boxed{V\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\frac{1}{2}\right)}$$

5. $$\overrightarrow{DI}\begin{pmatrix} \frac{1}{2}-0 \\[1mm] \frac{\sqrt{3}}{2}-1 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\[1mm] \frac{\sqrt{3}}{2}-1 \end{pmatrix}}$$

6. On calcule le déterminant. Il faut développer le second produit avec soin : $$\begin{aligned} \det\left(\overrightarrow{DI},\overrightarrow{DV}\right) &= \frac{1}{2}\times\left(-\frac{1}{2}\right) -\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right) \\[1mm] &= -\frac{1}{4}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\[1mm] &= -\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=0 \end{aligned}$$ Le déterminant est nul, donc $\overrightarrow{DI}$ et $\overrightarrow{DV}$ sont colinéaires. $$\boxed{\text{Les points } D, \; I \text{ et } V \text{ sont alignés}}$$ On peut préciser le rapport : $\overrightarrow{DV}=\left(2+\sqrt{3}\right)\overrightarrow{DI}$, soit environ $3{,}73$ fois plus long.