ExerciceSeconde, chapitre 10 — Vecteurs · Exercices de synthèse

Exercice 26

Calcul

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-2\,;1)$ , $B(2\,;-1)$ , $C(4\,;3)$ et $D(0\,;5)$ .

1. Placer ces quatre points dans un repère.

2. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{DC}$ . Qu'en déduit-on pour le quadrilatère $ABCD$  ?

3. Calculer les longueurs $AB$ et $AD$ . Que peut-on en déduire ?

4. Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$ .

5. En déduire la nature exacte du quadrilatère $ABCD$ .

Corrigé

2. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2-(-2) \\ -1-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad ; \qquad \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 4-0 \\ 3-5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ Ces deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc ils sont égaux : $\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme}}$

3. $AB=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \; \Longrightarrow \; AD=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ Deux côtés consécutifs du parallélogramme ont la même longueur : $\boxed{ABCD \text{ est un losange}}$

4. $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \; \Longrightarrow \; AC=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} \; \Longrightarrow \; BD=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}

\boxed{\text{Les deux diagonales ont la même longueur}}

5. Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Or c'est aussi un losange d'après la question 3. $\boxed{ABCD \text{ est un carré}}$ On aurait pu s'en douter à la lecture de la figure, mais seuls les calculs de longueurs permettent de l'affirmer.

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Normes et topologie associée

Thèmes

coordonnées d.un vecteur, norme, vecteurs

Notions

norme, espace vectoriel