Exercice 25 Vrai ou faux

1. Fausse. Il faut aussi la même direction et le même sens. Contre-exemple : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont la même longueur mais ne sont pas égaux, ils sont opposés.

2. Vraie. C'est l'une des trois conditions de l'égalité de deux vecteurs : direction, sens et longueur.

3. Vraie. La définition du cours prévoit précisément ce cas : deux vecteurs sont colinéaires dès que l'un des deux est nul. On le vérifie aussi par le déterminant : $0\times y'-x'\times 0=0$.

4. Vraie. Si les deux vecteurs sont égaux, ils ont en particulier la même longueur, et $\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=AB$.

5. Fausse. C'est la réciproque de la précédente, et elle est fausse : l'égalité des longueurs ne dit rien de la direction ni du sens. Contre-exemple : avec $A(0\,;0)$, $B(1\,;0)$, $C(0\,;0)$ et $D(0\,;1)$, on a $AB=CD=1$, mais $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\neq \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

6. Vraie. D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.

7. Fausse. L'affirmation tombe en défaut si l'un des deux vecteurs est nul : le vecteur $\vec{0}$ a un déterminant nul avec n'importe quel vecteur, alors qu'il n'a aucune direction. L'énoncé correct est : deux vecteurs non nuls de déterminant nul ont la même direction.

8. Vraie. C'est la méthode du cours : les points sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, ce que traduit exactement la nullité du déterminant.

9. Vraie. D'après la définition du produit par un réel, la longueur de $k\vec{u}$ vaut $|k|\times\|\vec{u}\|$, soit ici $2\|\vec{u}\|$.

10. Fausse. Une longueur n'est jamais négative. Le vecteur $-\vec{u}$ a la même longueur que $\vec{u}$ ; c'est son sens qui change.