Exercice 30

1.

2. Le point $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $\overrightarrow{AB}=2\,\overrightarrow{AI}$ d'après la question 3 de l'exercice 9. En divisant par $2$ : $$\boxed{\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}$$ Le même raisonnement dans le triangle donne : $$\boxed{\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}}$$

3. On introduit le point $A$ à l'aide de la relation de Chasles : $$\begin{aligned} \overrightarrow{IJ} &= \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} \\ &= -\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} \\ &= -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \\ &= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right) \end{aligned}$$ Or $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$. $$\boxed{\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}}$$

4. L'égalité précédente montre que $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires, le coefficient valant $\dfrac{1}{2}$. $$\boxed{\text{Les droites } (IJ) \text{ et } (BC) \text{ sont parallèles}}$$

5. La longueur d'un vecteur multiplié par $\dfrac{1}{2}$ est la moitié de la longueur du vecteur initial : $$\boxed{IJ=\frac{BC}{2}}$$

6. $$\boxed{\text{C'est le théorème de la droite des milieux}}$$ Il est ici démontré en trois lignes de calcul vectoriel, alors que la démonstration géométrique classique demande de passer par un parallélogramme auxiliaire.