Exercice 31

Partie A : démonstration générale.

1.

2. Le raisonnement est identique à celui de l'exercice précédent, avec $\dfrac{1}{3}$ au lieu de $\dfrac{1}{2}$ : $$\begin{aligned} \overrightarrow{IJ} &= \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} \\ &= -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right) \end{aligned}$$

3. Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires : $$\boxed{\text{Les droites } (IJ) \text{ et } (BC) \text{ sont parallèles}}$$

4. Le calcul ne dépend pas de la valeur particulière du coefficient. Avec $\overrightarrow{AI}=k\,\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}=k\,\overrightarrow{AC}$ : $$\begin{aligned} \overrightarrow{IJ} &= \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-k\,\overrightarrow{AB}+k\,\overrightarrow{AC} \\ &= k\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=k\,\overrightarrow{BC} \end{aligned}$$

$$\boxed{\overrightarrow{IJ}=k\,\overrightarrow{BC}, \text{ donc } (IJ) \text{ et } (BC) \text{ sont parallèles}}$$ C'est le théorème de Thalès, ici démontré vectoriellement et d'un seul coup pour toutes les valeurs de $k$.

Partie B : vérification dans un repère.

5. $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 10-1 \\ 5-2 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}} \qquad ; \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 11-2 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}}$$

6. $$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{I(1+3\,;2+1)=I(4\,;3)}$$

7. $$\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} 2-4 \\ 5-3 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}} \qquad ; \qquad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 4-10 \\ 11-5 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \end{pmatrix}}$$ On vérifie bien que $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}=\overrightarrow{IJ}$.

8. $$\det\left(\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{BC}\right)=(-2)\times 6-(-6)\times 2=-12+12=0$$