Exercice 23

On construit d'abord la ligne des effectifs cumulés, qui servira à toutes les questions :

1. L'effectif total vaut $N = 25$, nombre impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{25+1}{2} = 13$. Comme $8 < 13 \leqslant 16$, cette valeur est $2$ : $$M = \boxed{2 \text{ livres}}$$

2. On calcule les deux rangs : $$\frac{N}{4} = 6{,}25 \;\longrightarrow\; \text{rang } 7 \qquad\text{et}\qquad \frac{3N}{4} = 18{,}75 \;\longrightarrow\; \text{rang } 19$$ Comme $2 < 7 \leqslant 8$, la septième valeur est $1$ ; comme $16 < 19 \leqslant 21$, la dix-neuvième est $3$ : $$Q_{1} = \boxed{1} \qquad\text{et}\qquad Q_{3} = \boxed{3}$$

3. On calcule les deux différences : $$\text{étendue} = 5 - 0 = \boxed{5} \qquad\text{et}\qquad Q_{3} - Q_{1} = 3 - 1 = \boxed{2}$$

4. On applique la formule de la moyenne : $$\overline{x} = \frac{2 \times 0 + 6 \times 1 + 8 \times 2 + 5 \times 3 + 3 \times 4 + 1 \times 5}{25} = \frac{0+6+16+15+12+5}{25} = \frac{54}{25} = \boxed{2{,}16}$$

$$\boxed{\text{La moyenne } 2{,}16 \text{ est légèrement supérieure à la médiane } 2.}$$ La série est en effet un peu étirée vers la droite : les quelques élèves ayant lu $4$ ou $5$ livres tirent la moyenne vers le haut, sans déplacer la médiane.