Exercice 24

Dans les quatre cas, on commence par la ligne des effectifs cumulés : c'est elle qui permet de retrouver la valeur d'un rang donné.

a. Effectif total $N = 2+5+6+4+3 = 20$.

$$\overline{x} = \frac{2 \times 1 + 5 \times 2 + 6 \times 3 + 4 \times 4 + 3 \times 5}{20} = \frac{2+10+18+16+15}{20} = \frac{61}{20} = \boxed{3{,}05}$$ L'effectif $N = 20$ est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $10$ et $11$, toutes deux égales à $3$ puisque $7 < 10 \leqslant 13$ et $7 < 11 \leqslant 13$. Par ailleurs $\dfrac{N}{4} = 5$ et $\dfrac{3N}{4} = 15$ sont entiers. $$\boxed{\begin{array}{l} M = 3 \quad;\quad Q_{1} = 2 \ (\text{rang } 5) \quad;\quad Q_{3} = 4 \ (\text{rang } 15) \\[2mm] \text{étendue} = 5 - 1 = 4 \quad;\quad Q_{3} - Q_{1} = 2 \end{array}}$$

b. Effectif total $N = 3+5+8+5+3 = 24$.

$$\overline{x} = \frac{3 \times 0 + 5 \times 1 + 8 \times 2 + 5 \times 3 + 3 \times 4}{24} = \frac{0+5+16+15+12}{24} = \frac{48}{24} = \boxed{2}$$ La médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $12$ et $13$, toutes deux égales à $2$. Ici $\dfrac{N}{4} = 6$ et $\dfrac{3N}{4} = 18$ sont entiers. $$\boxed{\begin{array}{l} M = 2 \quad;\quad Q_{1} = 1 \ (\text{rang } 6) \quad;\quad Q_{3} = 3 \ (\text{rang } 18) \\[2mm] \text{étendue} = 4 - 0 = 4 \quad;\quad Q_{3} - Q_{1} = 2 \end{array}}$$

c. Effectif total $N = 20+30+50+30+20 = 150$.

$$\overline{x} = \frac{20 \times 1 + 30 \times 2 + 50 \times 3 + 30 \times 4 + 20 \times 5}{150} = \frac{20+60+150+120+100}{150} = \frac{450}{150} = \boxed{3}$$ L'effectif $N = 150$ est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $75$ et $76$. Comme $50 < 75 \leqslant 100$ et $50 < 76 \leqslant 100$, ces deux valeurs sont égales à $3$. $$\frac{N}{4} = 37{,}5 \;\longrightarrow\; \text{rang } 38 \qquad\text{et}\qquad \frac{3N}{4} = 112{,}5 \;\longrightarrow\; \text{rang } 113$$ Comme $20 < 38 \leqslant 50$, la trente-huitième valeur est $2$ ; comme $100 < 113 \leqslant 130$, la cent-treizième est $4$. $$\boxed{\begin{array}{l} M = 3 \quad;\quad Q_{1} = 2 \quad;\quad Q_{3} = 4 \\[2mm] \text{étendue} = 5 - 1 = 4 \quad;\quad Q_{3} - Q_{1} = 2 \end{array}}$$

d. Effectif total $N = 13+22+28+27+24+12 = 126$.

$$\overline{x} = \frac{0 + 22 + 56 + 81 + 96 + 60}{126} = \frac{315}{126} = \boxed{2{,}5}$$ L'effectif $N = 126$ est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $63$ et $64$. Or l'effectif cumulé atteint exactement $63$ à la valeur $2$ : la soixante-troisième valeur est donc $2$, et la soixante-quatrième est $3$. $$M = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5$$

Piège : la médiane n'est ici égale à aucune des valeurs du tableau. C'est normal : lorsque l'effectif est pair, elle est une demi-somme, et rien n'impose que les deux valeurs centrales coïncident.

$$\frac{N}{4} = 31{,}5 \;\longrightarrow\; \text{rang } 32 \qquad\text{et}\qquad \frac{3N}{4} = 94{,}5 \;\longrightarrow\; \text{rang } 95$$ Comme $13 < 32 \leqslant 35$, la trente-deuxième valeur est $1$ ; comme $90 < 95 \leqslant 114$, la quatre-vingt-quinzième est $4$. $$\boxed{\begin{array}{l} M = 2{,}5 \quad;\quad Q_{1} = 1 \quad;\quad Q_{3} = 4 \\[2mm] \text{étendue} = 5 - 0 = 5 \quad;\quad Q_{3} - Q_{1} = 3 \end{array}}$$