Exercice 2

1. La carte étant tirée au hasard, les $32$ cartes ont toutes la même probabilité d'être tirées : on est bien en situation d'équiprobabilité, et on peut appliquer la formule $$P(A)=\frac{\text{nombre d'issues favorables à }A}{\text{nombre d'issues possibles}}$$

Le jeu contient $4$ rois et $8$ cœurs, donc : $$P(R)=\frac{4}{32}=\boxed{\frac{1}{8}} \qquad\text{et}\qquad P(C)=\frac{8}{32}=\boxed{\frac{1}{4}}$$

2. L'événement $R\cap C$ est « la carte tirée est le roi de cœur ». Il n'y a qu'une seule carte favorable : $$\boxed{P(R\cap C)=\frac{1}{32}}$$

3. D'après la formule de la réunion : $$P(R\cup C)=\frac{4}{32}+\frac{8}{32}-\frac{1}{32}=\boxed{\frac{11}{32}}$$ Autrement dit, il y a $11$ chances sur $32$ que la carte tirée soit un roi ou un cœur (le roi de cœur n'étant compté qu'une seule fois).

4. On compare de nouveau : $$P(R)\times P(C)=\frac{1}{8}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{32}=P(R\cap C)$$

$$\boxed{\text{les événements }R\text{ et }C\text{ sont indépendants}}$$ Ce résultat est cohérent : connaître la couleur de la carte ne renseigne en rien sur sa hauteur.