Exercice 19

1. Aucun succès signifie $20$ échecs consécutifs : $$P(X=0)=\begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}\times 0{,}15^0\times 0{,}85^{20}=0{,}85^{20} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(X=0)\approx 0{,}0388}$$

2. L'événement $(X\geqslant 1)$ est le contraire de $(X=0)$ : $$P(X\geqslant 1)=1-0{,}0388 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(X\geqslant 1)\approx 0{,}9612}$$

3. L'événement $(X\leqslant 2)$ est la réunion des événements $(X=0)$, $(X=1)$ et $(X=2)$, qui sont deux à deux incompatibles : $$\begin{aligned} P(X\leqslant 2) &= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &\approx 0{,}0388+0{,}1368+0{,}2293 \end{aligned}$$

$$\boxed{P(X\leqslant 2)\approx 0{,}405}$$ La calculatrice donne directement ce résultat avec binomFRep(20 ;0.15 ;2).

4. L'événement $(X\geqslant 3)$ est le contraire de $(X\leqslant 2)$, et non de $(X\leqslant 3)$ : $$P(X\geqslant 3)=1-P(X\leqslant 2)\approx 1-0{,}405 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(X\geqslant 3)\approx 0{,}595}$$